R 第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题
（考试时间：90分钟；满分100分）
一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
1. 已知 , ,且 .则 的值等于( ).
A. ; B. ; C. ; D. .
2. ( ).
A. ; B. ; C. ; D. .
3. 若 ,则 中,正数的个数为( ).
A. 个; B. 个; C. 个; D.都有可能.
4. 有正三棱柱 ,底面边长为 .现将其切去一部分,剩余部分为 ,其中 ,则剩余部分的体积为( ).
A. ; B. ; C. ; D. .
5. 已知关于 的一元四次方程 有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.
① 可能成立;② 可能成立;③ 可能成立.
A. ; B. ; C. ; D. .
6. 已知一个平方数的十位数为7,那么它的个位数是( ).
A. ; B. ; C. ; D. .
7. 若关于 的方程 的两根分别为 和 , , ,则 与 的关系是( ).
A. ; B. ; C. ; D.不能确定.
8. 关于 的方程 的所有整数解 有( )组.
A. ; B. ; C. ; D. .
9. 设二次函数 满足:当 时, .则 的最大值是( ).
A. ; B. ; C. ; D. .
10. 的值是( ).
A. ; B. ; C. ; D. .
二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
11. 在边长为 的正方形 的四边上分别取点 、 、 、 .四边形 四边的平方和 最小时其面积为_____.
12. 关于 的不等式 的解为_____.
13. 关于 的方程 有两个不相等的实根,且 的平均值为 ,则 的取值范围是_____.
14. 关于 的方程 的所有实根的和为_____.
15. 设点 为正三角形 的外接圆的圆弧 上不同于 和 的点,则判断 与 的关系: _____ (填 ).
16. 如图,位置 位于河的两岸,河宽为 , 之间的水平距离为 m.某人走路速度是游泳速度的 倍,欲从位置 前往位置 ,采用图中的路线,则夹角 _____时,所花费的时间最少.
17. 平面上过某一点 的 条不重合的直线称为关于点 的直线簇,并且此时称 为直线簇的阶(注意: 可以取 ,此时直线簇退化为一点 ).若 是平面上两个不重合的点,关于点 和关于点 的直线簇的阶之和为 ,那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为_____,最小为_____.
18. 已知 表示不超过 的最大整数.记 ,则 _____.
19. 已知整数 …, 满足:
① , …, ;② … ;③ … .
则 … 的最小值为_____,最大值为_____.
20. 是取 中较小的数的函数, 是取 中较大的数的函数,例如 ,则方程 的解为_____.
第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题
标准答案
一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
题号 1 2 3 4 5
答案 C D B C B
题号 6 7 8 9 10
答案 C B B B C
二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 2 4 > x ≥ 12
c<2-3 或c>2+3
-2 = 30o
31,16
题号 18 19 20
答案 2206 2008,2008 35+2245 30 或 35-2245 30
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